Temas 4 y 5. Trigonometría
Lo que debes aprender en este tema es:
- Trabajar con ángulos medidos en radianes y en grados sexagesimales.
- Calcular todas las razones trigonométricas de cualquier ángulo a partir de una razón cualquiera.
- Halla las medidas de los lados y de los ángulos de cualquier triángulo.
- Hallar el área y el perímetro de cualquier triángulo.
- Obtener las razones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos.
- Resolver ecuaciones trigonométricas sencillas de la fomra Af(ωx+φ)=B, siendo f una razón trigonométrica.
- Conocer la importancia histórica de las fórmulas de transformación de productos de cosenos en sumas.
- Resolver problemas reales para obtener medidas de longitudes a puntos inaccesibles mediante el uso de la trigonometría.
El radián
Circunferencia goniométrica
Dibujemos una circunferencia de radio unidad y centrada en el origen de coordenadas. Pintemos un punto cualquiera P sobre ella y unamos ese punto con el origen de coordenadas. El ángulo α comprendido entre el semieje de las abscisas positivas OX y el radio OP tiene por razones trigonométricas coseno y seno a las coordenadas de dicho punto P. Es decir,
cos α = x
sen α = y
Por lo tanto, las razones trigonométricas tienen signo positivo o negativo, según el cuadrante al que pertenezca el ángulo α.
Identidades trigonométricas importantes
MUY IMPORTANTE: Observa que se deduce de la definición las siguientes identidades:
Fórmulas de adición
A partir de estas fórmulas se pueden obtener:
- Fórmulas de adición para la tangente.
- Fórmulas para el ángulo doble.
- Fórmulas para el ángulo mitad.
- Fórmulas de conversión productos-sumas. Como ejemplo, observa cómo obtenemos una de ellas:
De manera análoga puedes obtener las demás fórmulas.
Reducción al primer cuadrante
Para cualquier ángulo podemos calcular sus razones trigonométricas basándonos en un triángulo rectángulo que se apoye en los ejes de coordenadas y calculando sus razones trigonométricas para ángulos que serán agudos (con valores entre 0 y 90 grados sexagesimales). Los signos de las razones trigonométricas calculadas serán los correspondientes al cuadrante en el que se halle el ángulo dado. Como ejemplo, observa la siguiente imagen:
Teorema de los senos y del coseno
Resolución de triángulos.
Para resolver cualquier triángulo haremos uso de las leyes anteriores de los senos y del coseno. Además, para hallar el área de un triángulo, podemos hacer uso de la fórmula (puedes demostrarla) siguiente:
Intenta resolver las siguientes actividades:
- Resolver un triángulo.
- Hallar la distancia de un barco a dos estaciones en tierra.
- Hallar la altura de un castillo inaccesible.
