Deberás:
- Comprender el concepto de proporcionalidad numérica.
- Resolver problemas sencillos por el método de reducción a la unidad.
- Aplicar la regla de tres directa e inversa.
- Calcular porcentajes de cualquier cantidad.
- Resolver problemas reales de aumentos y disminuciones con porcentajes.
Relación de proporcionalidad entre magnitudes
Llamamos razón entre dos cantidades a la fracción que se obtiene siendo el numerador una de las cantidades y el denominador la otra cantidad.
Llamamos proporción a la igualdad de dos razones. Observa que las razones que forman la proporción son fracciones equivalentes. El valor decimal que se obtiene para estas fracciones equivalentes se llama razón de proporcionalidad.
Relación de proporcionalidad directa
En la tabla siguiente aparece el precio de unas cajas, todas iguales entre sí.
| Nº de cajas | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Precio (euros) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
Si consideras las razones que se obtienen entre el número de cajas (numerador) y el precio que cuestan en euros (denominador) comprobarás que son todas ellas fracciones equivalentes y forman una proporción. Cuando entre dos magnitudes ocurre esto decimos que existe una relación de proporcionalidad directa entre ambas magnitudes. y su constante de proporcionalidad es el valor decimal de las razones.
Saber que dos magnitudes son directamente proporcionales nos servirá para resolver estas dos preguntas:
1ª Si el número de cajas es 25, ¿cuál es el precio de todas ellas?
2ª. Si gasto 380 euros, ¿cuántas cajas puedo comprar?
Observa la tabla siguiente. Es la misma de antes a la que le hemos añadido dos columnas con los datos de las preguntas.
| Nº de cajas | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 25 | * |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Precio (euros) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | * | 380 |
Resolver las preguntas es fácil. Sólo tienes que aplicar los conocimientos vistos sobre fracciones equivalentes.
En este ejemplo, la constante de proporcionalidad directa es 0,2.
Relación de proporcionalidad inversa
Observa con atención la tabla siguiente: proporciona los días que tarda en vaciarse un contenedor de alimento para animales según el número de animales a los que hay que alimentar.
| Nº de animales | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Tiempo (días) | 360 | 180 | 120 | 90 | 72 |
Puedes comprobar que no hay proporcionalidad directa como en el caso anterior. Pero si te fijas bien te darás cuenta de algo curioso. Si multiplicas las parejas de valores de cada columna siempre se obtiene el mismo resultado.
En tablas así, en las que ocurre esto, decimos que hay una relación inversamente proporcional entre ambas magnitudes. Y al valor que se obtiene en la multiplicación y que siempre es el mismo valor se le llama constante de proporcionalidad inversa.
En la tabla anterior la constante de proporcionalidad inversa es 360.
Como en el caso anterior, saber que la relación entre dos magnitudes es de proporcionalidad inversa nos permite contestar a preguntas similares. Por ejemplo, si hay 6 animales, ¿cuántos días durará el alimento? Fíjate como se resuelve:
Realiza los ejercicios 1, 2 y 3 de las páginas 152 y 153.
Problemas de proporcionalidad directa
Método de reducción a la unidad
En esta técnica de resolución de problemas loe que hacemos es averiguar el valor de una cosa o unidad. Por ejemplo, si sabemos que un muñeco cuesta 5 euros podemos clcular lo que nos gastaremos si tenemos que comprar 7 de esos muñecos. Basta multiplicar por 7 los 5 euros para saber que nos van a cobrar 35 euros.
Ejemplo. 5 botes tienen un peso de 4 kg, ¿cuánto pesarán 6 botes?
Hallamos cuánto pesa 1 bote. Para eso, dividimos 4 kg entre 5 botes para saber el valor de 1 bote. Observa que la división escrita como fracción es 4 (kg)/5 (botes) = 0,8 kg/bote. Sólo tenemos que multiplicar por los botes que queramos para saber el peso. En nuestro caso, 0,8 · 6 = 4,8 kg.
Regla de tres directa
Escribiremos una proporción en la que un término es desconocido. Luego, aplicaremos lo visto en temas anteriores sobre fracciones equivalentes.
Ejemplo. 3 entradas para acceder a un local nos han costado 15 euros, ¿cuánto nos costarán 7 entradas?
Lo primero que hacemos es disponer en una tabla los datos, indicando las magnitudes del problema y poniendo una letra (x) en la celda que nos piden que hallemos. Mira la tabla como queda.
| Número de entradas | Precio de las entrada (euros) |
|---|---|
| 3 | 15 |
| 7 | x |
A continuación escribimos la proporción y hallamos el valor pedido (x).
Vídeo en el que se explica un problema con regla de tres simple directa
Realiza los ejercicios 1 al 7 de la página 155.
Problemas de proporcionalidad inversa
Las magnitudes involucradas toman sus valores de la siguiente manera:
- Cuando una magnitud aumenta su valor, la otra disminuye. Si disminuye, entonces aumenta. Es parecido al balancín del parque, cuando una persona sube la otra debe bajar.
- Si duplicamos el valor de una de ellas, la otra se reduce a la mitad. Si la triplicamos, la otra se divide por tres, y así sucesivamente.
Método de reducción a la unidad
En esta técnica de resolución de problemas loe que hacemos es averiguar el valor de una cosa o unidad.
Ejemplo. 2 camiones tardan 6 horas en llenar un recipiente de hormigón, ¿cuánto tardarán 3 camiones?
Observamos que si hay más camiones acabarán antes. Y si hay menos camiones necesitarán más tiempo. ¿Cuánto tardará un camión solo? La respuesta son 12 horas. Fíjate que debe realizar el trabajo de todos los camiones que ahora no están. Ahora, repartimos el trabajo entre los tres camiones, 12 : 3 = 4 horas para hacer el trabajo.
Regla de tres inversa
Escribiremos una proporción en la que un término es desconocido. Luego, aplicaremos lo visto en temas anteriores sobre fracciones equivalentes. Para escribir la proporción deberemos invertir la fracción de la derecha.
Ejemplo. Resolveremos el mismo problema. Observa bien como damos vuelta a la fracción de la derecha.
Lo primero que hacemos es disponer en una tabla los datos, indicando las magnitudes del problema y poniendo una letra (x) en la celda que nos piden que hallemos. Mira la tabla como queda.
| Número de camiones | Tiempo de llenado (horas) |
|---|---|
| 2 | 6 |
| 3 | x |
A continuación escribimos la proporción y hallamos el valor pedido (x).
Vídeo en el que se explica un problema con regla de tres simple inversa
Realiza los ejercicios 1 al 7 de la página 157.
Porcentajes
Vamos a recordar que un porcentaje podemos traducirlo a decimal, a fracción y a dibujo según nos interese. Un truco que es muy bueno para resolver muchos problemas de porcentajes es cambiar la palabra porcentaje por su sinónimo de fracción.
Para calcular un porcentaje lo haremos de tres formas diferentes. Cada una de ellas tiene sus cosas buenas y sus cosas malas, pero eso lo irás descubriendo poco a poco. Estudia el ejemplo y aprende las tres formas.
Realiza los ejercicios 1 al 19 de las páginas 159 y 160.
Aumentos y disminuciones porcentuales
En muchas ocasiones te dirán que cierta cantidad ha aumentado o disminuido su valor, pero en vez de decirte el valor que varía te lo dirán en porcentaje. Lo que vas a tener que hacer es calcular ese porcentaje y, a continuación, sumarlo o restarlo al valor inicial.
Ejemplo. Juan recibe 5 euros de paga. Su padre ha decidido subir la paga un 20%. ¿Cuánto será su nueva paga?
Calculamos el 20% de 5 euros = 1 euro. A continuación, hacemos la suma 5 + 1 = 6 euros. Su paga será de 6 euros.
Ahora Juan ha decidido que va a donar el 30% de su paga a la beneficiencia. ¿Cuánto dinero le quedará?
Calculamos el 30% de 6 euros = 1,80 euros. Ahora hacemos la resta 6 - 1,80 = 4,20 euros. Le quedará 4,20 euros.
Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 161.
Ejercicios y problemas
Realiza los ejercicios de la autoevaluación de la página 167.