Lo que debes aprender en este tema es:
- Distinguir entre integral indefinida y primitiva de una función.
- Hallar primitivas inmediatas y cuasi-inmediatas.
- Calcular integrales definidas y conocer su significado geométrico.
- Conocer el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow.
- Hallar áreas de funciones positivas mediante la integral definida.
Integral indefinida. Primitiva de una función.
Dada una función f(x) llamamos primitiva de esa función a otra función cuya derivada coincide con f.
Una función tendrá infinitas primitivas; de ahí que se hable de una primitiva y no se diga la primitiva. Al conjunto de todas las prmitivas de una función es a lo que llamamos integral indefinida de la función.
Para hallar la integral indefinida de una función hallaremos una primitiva y le añadiremos una constante C, pues todas las primitivas se obtienen de una de ellas sumándole una constante de valor adecuado.
Debes aprender la tabla de integrales indefinidas inmediatas, y las propiedades básicas de la suma y multiplicación por un número siguientes:
Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 221 (excepto las trigonométricas); y los ejercicios 1 y 2 de la página 238.
Cálculo de primitivas
Debes aprender la tabla de integrales indefinidas cuasi-inmediatas siguiente:
Realiza los ejercicios 3 y 4 de la página 223 (excepto las trigonométricas); y los ejercicios del 4 al 9 (excepto las trigonométricas).
Integral definida. Función área
En este apartado supondremos que las funciones son no negativas.
Observa como escribimos la integral definida para una función e intervalos particulares.
Observa que la letra usada para la variable dentro del signo integral puede ser cualquiera. Se le llama variable muda. Podemos utilizar dentro del signo integral la letra x, la letra s o cualquiera otra que nos interese. Por último, si mantenemos el extremos inferior del intervalo fijo y hacemos variable el extremo superior, podemos definir la función área:
Aplicando la definición de integral definida, resuelve las siguientes integrales definidas:
Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow.
La relación entre integración y derivación viene dada por este teorema:
Para calcular integrales definidas de funciones continuas usaremos el siguiente resultado:
Realiza los ejercicios 10, 11 y 12 de la página 238 (excepto las trigonométricas).
Cálculo de áreas
El área comprendida entre las gráficas de dos funciones f (que llamaremos techo) y g (que llamaremos suelo) en un intervalo [a,b] se expresa como integral definida de su diferencia en ese intervalo.
Si una de ellas (la que hace de suelo) es la función nula, el área será la de la región comprendida entre la gráfica de la otra función y el eje de abscisas en el intervalo correspondiente. Por lo tanto, el área coincidirá con la integral definida de la función.
Realiza los ejercicios 13, 14, 15 y 16 de la página 239.