Lo que debes aprender en este tema es:
- Los experimentos aleatorios, su espacio muestral y los tipos de sucesos.
- Concepto de probabilidad. Regla de Laplace.
- Qué es la probabilidad condicionada. Sucesos independientes. Tablas de contingencia.
- Experimentos compuestos. Diagrama en árbol.
- Distribución de probabilidad discreta. Esperanza matemática.
- Distribución binomial.
Ver vídeo - Simulación de Galton
Experimentos aleatorios
En la imagen superior tienes dibujado el triángulo de Sierpinski. Si buscas por internet puedes encontrar mucha información sobre esta figura y muchas formas de obtenerla. Los matemáticos llaman fractal a figuras como ésa; pero no vamos a estudiar fractales.
La forma de obtener esa imagen la he realizado de la siguiente manera:
He pintado tres puntos que serán los vértices A, B y C del triángulo, y he situado un punto P en el interior de lo que sería el triángulo. A partir de aquí, se lanza un dado de seis caras normal. Si sale 1 ó 2, pintamos el punto medio del segmento que une P con A. Si sale 3 ó 4, pintamos el punto medio del segmento que une P con B. Si sale 5 ó 6, pintamos el punto medio del segmento que une P con C. Desde la nueva posición obtenida tras pintar, continuamos lanzando el dado y pintando del mismo modo. Este experimento se ha realizado cien mil veces, y el resultado es la imagen que ves.
Observa como algo que a priori puede parecer caótico y que se realiza de manera aleatoria, pues no sabemos que resultado se va a obtener al lanzar el dado, produce un objeto que transmite la sensación de orden.
Cuando se realiza un experimento debes saber responder siempre a estas preguntas:
1. ¿Cúal es es experimento que estamos realizando?
2. ¿Cuáles son los resultados posibles (sucesos elementales) que puede tener el experimento (Espacio muestral)?
3. ¿Qué sucesos son más fáciles que sucedan?¿Cuáles son más difíciles que aparezcan?
4. ¿Cómo podemos valorar esa facilidad de ocurrencia de cada suceso (probabilidad)?
Ejemplo Lanzo una moneda.
1. El experimento es lanzar al aire una moneda y dejar que caiga al suelo.
2. Los resultados posibles son dos: cara y cruz. El espacio muestral es E={cara, cruz}.
3. La moneda está trucada y es mucho más fácil que salga cara.
4. Valoro que salir cara es el triple de fácil que salir cruz. Luego, asigno unas probabilidades de p(cara)=0,75 y de p(cruz)=0,25.
Debes saber trabajar con sucesos y conocer lo siguiente:
- Suceso imposible y suceso seguro.
- Unión de sucesos.
- Intersección de sucesos.
- Suceso contrario o complementario.
- Sucesos incompatibles.
- Diferencia de sucesos.
- Sistema completo de sucesos.
Observación: Para cualquier otro número de sucesos se define de modo análogo.
Probabilidad de un suceso. Regla de Laplace
Debes conocer los axiomas de la probabilidad y calcular las probabilidades de cualquier suceso a partir de las probabilidades de los sucesos elementales.
La regla de Laplace se aplica en aquellos experimentos cuyos sucesos elementales son todos ellos equiprobables; permite calcular la probabilidad de cualquier suceso contando los casos favorables y dividiendo ese número entre los casos posibles del experimento.
Probabilidad condicionada. Sucesos independientes. Tablas de contingencia
Hay ocasiones en las que cuando realizamos experimentos tenemos o disponemos de información adicional sobre los resultados que se pueden obtener, de tal manera que el espacio muestral se modifica sustancialmente y, por lo tanto, las probabilidades asociadas a los sucesos.
Ejemplo: Se lanza un dado de seis caras normal. Las probabilidades de obtener cada cara será la misma e igual a 1/6. Pero, si tras un chivatazo nos dicen que el resultado obtenido en el dado es impar, el nuevo espacio muestral será el de las caras con puntos impares y modificaremos las probabilidades. Las probabilidades de que el resultado sea 2, 4 ó 6 las haremos 0. Y las de los números impares las valoraremos con probabilidad 1/3.
Observa que asignar la misma probabilidad a todos es manifestar nuestra ignorancia sobre lo que puede ocurrir en el experimento. Creo que puedes deducir muchas cosas de ello.
Dado un espacio muestral E y un suceso B, cuya probabilidad no es cero,p(B)>0, se define la probabilidad condicionada de un suceso cualquiera A como
Siguiendo con el ejemplo anterior:
Si el suceso B = "salir impar " y suceso A = "salir uno", entonces p(A\B)=(1/6)/(1/2)=1/3.
MUY IMPORTANTE: Dos sucesos A, B se dice que son independientes si p(A\B)=p(A).. Comprueba que si eso ocurre, entonces también sucede que p(B\A)=p(B). y que p(A ∩ B)=p(A)·p(B).
Para resolver problemas de probabilidad condicionada puede ser conveniente disponer la información en tablas de contingencia, que no son otra cosa que tablas de doble entrada, y utilizar diagramas en árbol en cuyas ramas pondremos la probabilidad condicionada. Todo esto lo veremos en ejercicios.
Ver vídeo - Problema resuelto por diagramas de Venn.Ver vídeo - Problema resuelto por tablas de contingencia.
Experimentos compuestos. Diagramas en árbol
Un experimento formado por más de una etapa diremos que es compuesto . Si los resultados de una etapa cualquiera no influyen en los resultados de las demás etapas diremos que los experimentos de los que está compuesto son independientes; en caso contrario, se dice que son dependientes.
Ver vídeo - Experimento compuesto y diagrama en árbol.
Realiza los ejercicios del 1 al 6 de las páginas 240 y 241; y los ejercicios del 1 al 4 de la página 255.
Distribuciones de probabilidad discreta
Realizaremos un experimento aleatorio y confeccionaremos una tabla con los sucesos elementales y sus probabilidades asociadas. A continuación, como si de una tabla de frecuencias se tratara, hallaremos la esperanza matemática (equivalente a la media aritmética en Estadística), la Varianza y la Desviación Típica. Además, dibujaremos el diagrama de barras asociado a la tabla. A la tabla la llamaremos distribución de probabilidad.
Ejemplo. De un grupo de cuatro personas cuyas edades son 12, 15, 18 y 20 años se elige una persona al azar. Las probabilidades de ser elegido de cada uno vienen expresadas en la siguiente tabla:
| Edad de una persona X |
probabilidad p |
|---|---|
| 12 | 0,1 |
| 15 | 0,2 |
| 18 | 0,3 |
| 20 | 0,4 |
Los parámetros asociados a esta distribución de probabilidad son:
Realiza los ejercicios del 1 al 4 de las páginas 244 y 245; y los ejercicios del 5 al 8 de la página 255.
Distribución binomial
Considera el siguiente experimento compuesto:
- Todos los experimentos simples son los mismos y tienen dos sucesos elementales posibles.
- Se repite n veces cada experimento simple en las mismas condiciones.
- Llamamos éxito a uno de los dos sucesos; al otro suceso lo llamamos fracaso.
- La probabilidad de éxito es p; la probabilidad de fracaso es q.
- Definimos X = "Número total de éxitos al hacer el experimento compuesto n veces".
De este experimento debes saber la probabilidad de obtener exactamente k éxitos, la media y la varianza, que vienen dadas por las fórmulas:
Realiza los ejercicios del 1 al 7 de las páginas 256 y 257.
Ejemplo. Una bola cae por un tablero y al golpear con un palote puede ir la derecha o a la izquierda con la misma probabilidad. Si debe desviarse 7 veces y llamamos éxito ="bola a la izquierda", la distribución binomial es:
| Nº de éxitos X |
probabilidad p |
|---|---|
| 0 | 0,0078 |
| 1 | 0,0547 |
| 2 | 0,1641 |
| 3 | 0,2734 |
| 4 | 0,2734 |
| 5 | 0,1641 |
| 6 | 0,0547 |
| 7 | 0,0078 |
Y los valores de la media, varianza y desviación típica de la distribución binomial son:
Realiza los ejercicios del 9 al 14 de las páginas 255.