Debéis manejar con soltura:
- Hallar el vector de extremos dos puntos.
- Hallar el módulo y representar gráficamente un vector.
- Sumar, restar vectores analíticamente y geométricamente.
- Multiplicar un vector por un número analíticamente y geométricamente.
- Dividir un segmento en partes iguales.
- Hallar un vector direccional de una recta.
- Escribir la ecuación de una recta en forma vectorial.
- Escribir la ecuación de una recta en forma paramétrica.
- Escribir la ecuación de una recta en forma continua.
- Escribir la ecuación de una recta en forma explícita.
- Escribir todas las formas de escribir la ecuación de una recta a partir de una de ellas.
- Averiguar si dos rectas son paraleas o perpendiculares entre sí.
Concepto de vector
Para nosotros, un vector en el plano es una flecha dirigida. Tendrá:
- Dirección: La rectaque soporta la flecha.
- Sentido: Toda dirección tiene dos sentidos que indicaremos con una punta de flecha.
- Módulo: Es la longitud de la flecha.
En el siguiente dibujo los vectores nombrados como u y
v son iguales, aunque están en diferentes posiciones.
Para hallar un vector analíticamente a partir de dos puntos, que serán
su extremo inicial y final, se restan las coordenadas de los puntos.
en el ejemplo:
A = (1,2) y B = (4,3). El vector v que definen estos puntos es
v = (4-1,3-2)=(3,1).
Puedes observar que el vector u coincide con el vector v.
Es fácil darse cuenta que los dos números (que llamaremos
coordenadas del vector o componentes del vector) informan
el incremento horizontal y vertical, respectivamente, para ir del punto
extremo inicial (origen) al punto extremo final (donde se dibuja la
punta de flecha).
DOS VECTORES (a1,a2) y (b1,b2) SON IGUALES SI Y SÓLO SI
TIENEN MISMAS COMPONENTES. ES DECIR, a1=b1 Y a2=b2.
Propiedades de un vector
Módulo de un vector
Es la longitud de la flecha. Se calcula aplicando el teorema de Pitágoras (observa el dibujo).
Vector opuesto y vector nulo
Dado el vector u, su vector opuesto es -u, obtenido a partir del primero cambiando de signo las coordenadas. Observa gráficamente que cambia el sentido de la flecha. El vector w es el opuesto de v.
Definimos el vector nulo O al que tiene por componentes el valor cero (O = (0,0)).
Operaciones con vectores
Para sumar dos vectores:
- Analíticamente: Se suman sus componentes.
- Geométricamente : Se aplica la ley del paralelogramo.
Para sumar varios vectores:
- Analíticamente: Se suman sus componentes.
- Geométricamente : Se elige un punto como origen y se dibujan los vectores uno a contiinuación de otro, tomando como origen el extremo del anterior (mira el dibujo).
Para restar dos vectores:
- Analíticamente: Se restan sus componentes.
- Geométricamente : Se aplica la ley del paralelogramo con el opuesto del que resta.
Para multiplicar un vector por un número:
- Analíticamente: Se multiplican sus componentes por el número (escalar).
- Geométricamente : Se mantiene la dirección de la flecha. El sentido se mantiene si el escalar es positivo; se cambia si es negativo. El módulo (longitud) del vector queda multiplicado por el valor absoluto del escalar.
División de un segmento en partes iguales
A partir del significado geométrico que tiene la operación de multiplicar y, en particular, el significado del escalar por el que multiplicamos el vector podemos calcular fácilmente el punto medio entre dos puntos cualesquiera.
Pensando de manera análoga a la expuesta, podemos dividir un segmento en 3, 4, 5,... partes tomando como escalar 1/3, 1/4, 1/5, ...
Tomando como escalar 2 ó -1, por ejemplo, hallaremos el punto simétrico de un extremo respecto al otro.
Existen fórmulas para calcular los difererentes puntos en los que se divide un segmento, pero es más
interesante saber calcularlos manejando los vectores.
Una fórmula que sí que debes aprender es la del punto nedio. Si A(a1,a2),
B(b1,b2) son dos puntos cualesquiera del plano, el punto medio M tiene
por coordenadas m1=(a1+b1)/2 y
m2=(a2+b2)/2.
Vector direccional de una recta
Ecuaciones de la recta
Vectorial
Paramétrica
Continua
Explícita
Pendiente de la recta. Paralelismo y perpendicularidad
Si v = (a,b) es un vector direccional de la recta r , definimos la pendiente
del la recta al cociente de sus componentes segunda entre primera.
m = b / a
Paralelismo entre rectas
Si dos rectas son paralelas entonces tienen vectores direccionales proporcionales y sus pendientes son iguales.
Ejemplo:
r: y = 3 x + 4
s: y = 3 x -8
Ambas rectas son paralelas, pues tienen la misma pendiente m=3.
Perpendicularidad entre dos rectas
Si dos rectas son perpendiculares entonces se verifica que el producto de sus pendientes vale -1.
Un modo rápido de obtener una recta que sea perpendicular a otra dada es intercambiando las componentes del vector direccional y cambiando el signo a una de ellas.
Ejemplo:
r: 2x-3y+4=0
s: 3x+2y-5=0
Ambas rectas son perpendiculares. Sólo tienes que despejar y en ambas ecuaciones, obtener sus pendientes y comprobar que su producto es -1.
Realiza los ejercicios de la autoevaluación de la página 187.