Tema 8. Geometría analítica en el plano.
Debéis manejar con soltura:
- Hallar un vector direccional de una recta.
- Escribir la ecuación de una recta en forma vectorial.
- Escribir la ecuación de una recta en forma paramétrica.
- Escribir la ecuación de una recta en forma continua.
- Escribir la ecuación de una recta en forma punto-pendiente.
- Escribir la ecuación de una recta en forma implícita.
- Escribir la ecuación de una recta en forma explícita.
- Escribir todas las formas de escribir la ecuación de una recta a partir de una de ellas.
- Hallar el ángulo que forman dos rectas en el plano.
- Hallar la distancia de un punto a una recta.
- Hallar la distancia entre dos rectas.
Vector direccional de una recta
Ecuaciones de la recta
Vectorial
Paramétrica
Continua
Punto-pendiente
Implícita
Explícita
RESUMEN DE FÓRMULAS
A partir de los puntos A y el vector v, podemos obtener todas las expresiones de la recta. Observa que el vector marca la dirección de la recta, y el punto A la fija en una posición determinada del plano.
Ángulo entre dos rectas
El ángulo que una recta cualquiera forma con el eje de abscisas (horizontal) puede calcularse de varias formas. Una forma sencilla es la que se muestra en la imagen.
A partir de aquí, y con un poquito de trigonometría (recordad la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos), podemos obtener una fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas a partir conocidas las pendientes.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS
Dos rectas en el plano pueden ser:
- Secantes. Se cortan en un único punto.
- Paralelas. No se cortan.
- Coincidentes. Las dos rectas se diferencian en la expresión analítica pero son la misma recta.
Observaciones importantes
- Si dos rectas son paralelas entonces tendrán la misma pendiente, sus vectores direccionales serán proporcionales y el sistema de ecuaciones que forman no tendrá solución.
- Si dos rectas son secantes (con un único punto en común) sus vectores direccionales no serán proporcionales y el sistema que forman sus ecuaciones tendrá una única solución (un único punto).
- Si dos rectas son perpendiculares sus vectores direccionales serán ortogonales y su producto escalar será cero.
Distancia de un punto a una recta
No es difícil convencerse de que trazando la perpendicular a la recta r y que pasa por el punto P, el punto de intersección Q es el que más cerca estará de P de todos los que hay en la recta. Esto da un posible procedimiento para hallar esa distancia del punto a la recta, que coincidirá con la de Q a P.
Otro procedimiento es probar que se obtiene la siguiente fórmula, aprenderla y aplicarla.
Cálculo de la bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales. Podemos calcularla siguiendo los pasos gráficos de construcción de la bisectriz tal y como se hace en Dibujo Técnico; también, podemos aplicar la propiedad de las bisectrices:
"Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo."
Este método se desarrolla en la siguiente imagen.
Aplicación que calcula las bisectrices entre dos rectas en implícitas.