Tema 7. Vectores

Tema 7. Vectores.

Debéis manejar con soltura:

• Hallar el vector de extremos dos puntos.
• Hallar el módulo y representar gráficamente un vector. Escribir vectores unitarios.
• Sumar, restar vectores analíticamente y geométricamente.
• Multiplicar un vector por un número analíticamente y geométricamente.
• Hallar el producto escalar de dos vectores.
• Hallar el ángulo emtre dos vectores.
• Averiguar si dos vectores son orgonales.
• Construir vectores ortogonales a uno dado.
• Dividir un segmento en partes iguales.
• Resolver problemas sencillos de otras áreas con vectores.

Concepto de vector

Para nosotros, un vector en el plano es una flecha dirigida. Tendrá:

• Dirección: La rectaque soporta la flecha.
• Sentido: Toda dirección tiene dos sentidos que indicaremos con una punta de flecha.
• Módulo: Es la longitud de la flecha.

En el siguiente dibujo los vectores nombrados como u y v son iguales, aunque están en diferentes posiciones.
Para hallar un vector analíticamente a partir de dos puntos, que serán su extremo inicial y final, se restan las coordenadas de los puntos.
en el ejemplo:
A = (1,2) y B = (4,3). El vector v que definen estos puntos es v = (4-1,3-2)=(3,1).
Puedes observar que el vector u coincide con el vector v.

Es fácil darse cuenta que los dos números (que llamaremos coordenadas del vector o componentes del vector) informan el incremento horizontal y vertical, respectivamente, para ir del punto extremo inicial (origen) al punto extremo final (donde se dibuja la punta de flecha).
DOS VECTORES (a₁,a₂) y (b₁,b₂) SON IGUALES SI Y SÓLO SI TIENEN MISMAS COMPONENTES. ES DECIR, a₁=b₁ Y a₂=b₂.

Propiedades de un vector

Módulo de un vector

Es la longitud de la flecha. Se calcula aplicando el teorema de Pitágoras (observa el dibujo).

Vector opuesto y vector nulo

Dado el vector u, su vector opuesto es -u, obtenido a partir del primero cambiando de signo las coordenadas. Observa gráficamente que cambia el sentido de la flecha. El vector w es el opuesto de v.

Definimos el vector nulo O al que tiene por componentes el valor cero (O = (0,0)).

Vector unitario

Si el vector tiene módulo 1, decimos que es un vector unitario. Observa que dado un punto A de origen, todos los vectores unitarios que lo tienen de origen tendrán de extremo final los puntos que están en la circunferencia de centro el extremo tomado como origen y radio 1 (observa el dibujo).

Operaciones con vectores

Para sumar dos vectores:

• Analíticamente: Se suman sus componentes.
• Geométricamente : Se aplica la ley del paralelogramo.

Para sumar varios vectores:

• Analíticamente: Se suman sus componentes.
• Geométricamente : Se elige un punto como origen y se dibujan los vectores uno a contiinuación de otro, tomando como origen el extremo del anterior (mira el dibujo).

Para restar dos vectores:

• Analíticamente: Se restan sus componentes.
• Geométricamente : Se aplica la ley del paralelogramo con el opuesto del que resta.

Para multiplicar un vector por un número:

• Analíticamente: Se multiplican sus componentes por el número (escalar).
• Geométricamente : Se mantiene la dirección de la flecha. El sentido se mantiene si el escalar es positivo; se cambia si es negativo. El módulo (longitud) del vector queda multiplicado por el valor absoluto del escalar.

Producto escalar de dos vectores

Es el número real (positivo, negativo o cero) que se obtiene:
- Multiplicando la 1ª componente del primer vector con la 1ª componente del segundo vector.
- Multiplicando la 2ª componente del primer vector con la 2ª componente del segundo vector.
- Sumando los resultados obtenidos.

Definiremos el ángulo que forman 2 vectores al valor α que se obtiene al aplicar la expresión:

En el ejemplo anterior, observa cómo se calcula el ángulo (definición) que forman los vectores representados.

Ortogonalidad y ortonormalidad entre vectores

Dos vectores decimos que son ortogonales entre sí si su producto escalar es cero. Por la definición dada del ángulo, es inmediato probar que el valor de este ángulo es de 90 grados.

Dos vectores decimos que son ortonormales entre sí si su producto escalar es cero y, además, son vectores unitarios (tienen módulo 1).
Por la definición dada del ángulo, es inmediato probar que el valor de este ángulo es de 90 grados.

Es muy fácil probar que los vectores (1,0) y (0,1) son ortonormales entre sí.
Si se representan con origen común el origen de coordenadas, coinciden las direcciones de ambos con la de los ejes de abscisas y de ordenadas.
Se comprueba que forman un ángulo de 90 grados, pues son ortogonales (producto escalar cero). Y, además, tienen módulo 1 (son unitarios).
Denotaremos con i al vector (1,0); j al vector (0,1).

¿Cómo obtener vectores ortogonales a uno dado?

Si v=(a,b) es un vector, es muy fácil comprobar que el vector w=(-b,a), obtenido permutando las componentes entre sí y cambiando el signo de una de ellas, es ortogonal al v.
Basta comprobar que su producto escalar es 0.

División de un segmento en partes iguales

A partir del significado geométrico que tiene la operación de multiplicar y, en particular, el significado del escalar por el que multiplicamos el vector podemos calcular fácilmente el punto medio entre dos puntos cualesquiera.

Pensando de manera análoga a la expuesta, podemos dividir un segmento en 3, 4, 5,... partes tomando como escalar 1/3, 1/4, 1/5, ...

Tomando como escalar 2 ó -1, por ejemplo, hallaremos el punto simétrico de un extremo respecto al otro.

Existen fórmulas para calcular los difererentes puntos en los que se divide un segmento, pero es más interesante saber calcularlos manejando los vectores.
Una fórmula que sí que debes aprender es la del punto nedio. Si A(a₁,a₂), B(b₁,b₂) son dos puntos cualesquiera del plano, el punto medio M tiene por coordenadas m₁=(a₁+b₁)/2 y m₂=(a₂+b₂)/2.