Lo que debes aprender en este tema es:
- Conocer las seis razones trigonométricas de un triángulo rectángulo.
- Calcular todas las razones trigonométricas de un ángulo con la calculadora.
- Resolver cualquier triángulo rectángulo a partir de algunos de sus elementos.
- Resolver problemas reales aplicando la Trigonometría.
Razones trigonométricas
En la siguiente figura puedes observar que para el ángulo agudo dado, todos los triángulos rectángulos que se forman con ese ángulo son semejantes (¿Por qué?). A partir de aquí, podemos deducir que hay seis parejas de razones entre pares de lados del triángulo rectángulo, que van a tener siempre el mismo resultado o valor. En el ejemplo, calculamos las seis razones trigonométricas.
- SENO (sen)
- COSENO (cos)
- TANGENTE (tan)
- COTANGENTE (cot)
- SECANTE (sec)
- COSECANTE (csc)
Inversas de las razones trigonométricas
A partir de los valores de las razones trigonométricas, podemos calcular (con la calculadora siempre es posible) el valor del ángulo agudo α.
- ARCO SENO (arcsen)
- ARCO COSENO(arccos)
- ARCO TANGENTE(arctan)
- ARCO COTANGENTE(arccot)
- ARCO SECANTE(arcsec)
- ARCO COSECANTE(arccsc)
Realiza los ejercicios 1 al 4 de las páginas 144 y 145.
Fórmulas trigonométricas importantes
A partir del Teorema de Pitágoras, puedes comprobar la identidad fundamental de la Trigonometría.
En Trigonometría se pueden deducir muchísisma identidades; las siguientes resultan muy útiles:
Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 146.
Cálculo de las razones trigonométricas
Nosotros usaremos principalemente las razones seno, coseno y tangente. A partir del conocimiento de una razón puedens ser calculadas todas las demás. Veremos con ejemplos cómo hacerlo:
- Conocido el seno de un ángulo.
- Conocido el coseno de un ángulo. Se calcula de manera análoga al caso anterior.
- Conocida la tangente de un ángulo.
- Conocida la cotangente de un ángulo. Se halla la tangente y completamos conmo antes.
- Conocida la secante de un ángulo. Se calcula el coseno y se termina como se ha hecho anteriormente.
- Conocida la cosecante de un ángulo. Hallamos el seno y continuamos como en el primer caso.
Realiza los ejercicios 1, 2 y 3 de las páginas 148 y 149.
Razones trigonométricas de ángulos 30, 45 y 60 grados
A partir de las firguras y aplicando el teorema de Pitágoras, se pueden encontrar todas las razones trigonométricas. Recuerda:
- En un triángulo rectángulo de ángulos agudos iguales a 45 grados, es isósceles y los catetos miden lo mismo. El instrumento de dibujo asociado a este triángulo es la ESCUADRA.
- En un triángulo rectángulo cutos ángulos agudos son 30 y 60 grados se cumple que el lado mayor (hipotenusa) mide el doble que el menor (cateto menor). El instrumento de dibujo asociado a este triángulo es el CARTABÓN.
Realiza los ejercicios 3 al 7 de la página 147.
Problemas resueltos aplicando trigonometría
Una técnica general es descomponer las figuras en triángulos rectángulos, elegir en cada triángulo un ángulo agudo y escribir la razones seno, coseno y tangente. Luego, deberemos estudiar cuidadosamente que razones nos interesa elegir para resolver el problema. Puede ocurrir que tengamos que resolver un sistema de ecuaciones.
Realiza los ejercicios 1 al 4 de la página 150. Ejercicios 33 al 42 de la página 160.
El radián
De la misma manera que existen diferentes sistemas de unidades para medir la longitud (nosotros usamos el SI y el metro es la unidad de longitud; los anglosajones utilizan pies, pulgadas,...) y debemos saber transformar las medidas de un sistema a otro, con los ángulo ocurre algo similar. Estás acostumbrado a medir los ángulos en grados sexagesimales, pero también se pueden dar en radianes.
Un radián es el ángulo cuyo arco de circunferencia trazada con centro en el vértice del ángulo abarca un arco de longitud igual al radio de esa circunferencia.
La importancia que tiene esta unidad es que podemos calcular la longitud de un arco de circunferencia de radio R a partir del ángulo central multiplicando el radio por el valor del ángulo en radianes. De la definición, se deduce que un ángulo llano de 180 grados mide π radianes.
Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 155.