Tema 7. Las fracciones

Deberás:

• Representar fracciones mediante dibujos.
• Hallar el valor decimal de una fracción.
• Comparar fracciones.
• Obtener fracciones equivalentes.
• Hallar la fracción irreducible
• Resolver problemas reales con fracciones.

El significado de las fracciones

Partes de la unidad

• Partimos una tarta en 10 trozos y nos quedamos 1 pedazo: 1/10.
• Partimos una tarta en 10 trozos y nos quedamos 4 pedazos: 4/10.
• Partimos una tarta en 10 trozos y nos quedamos 10 pedazos: 10/10.
• Partimos una tarta en 10 trozos y nos quedamos 15 pedazos: 15/10.
• Partimos una tarta en 10 trozos y nos quedamos 40 pedazos: 40/10.

¿Cómo es posible que podamos quedarnos con 15 y 40 pedazos? Claramente, no podemos. Lo que queremos expresar es que queremos 15 y 40 pedazos de la tarta y, para ello, deberemos hacer más tartas iguales y partirlas todas en 10 trozos para que todos los pedazos sean iguales.

Operador

Una fracción de ... es una orden para nosotros. Significa que lo que vaya detrás de la preposición de hay que partirlo en trozos iguales a los que indique el denominador (número que se escribe debajo de la línea de fracción) y, a continuación, tomar el número de pedazos que indique el numerador (número que está escrito encima de la línea).

Ejemplo: Si compro 3/5 de 40 kg de carne, lo que estoy diciendo es:
40 kg : 5 = 8 kg de carne en cada trozo.
8 kg x 3 = 24 kg de carne es lo que estoy comprando.

División

Fíjate en el signo de división de tu calculadora. Seguramente, entre los dos puntitos de división hay una rayita horizontal. La calculadora te está indicando que una fracción también es una división.
Ejemplo: El número 3/5 es el número decimal 3:5 = 0,6. ¿Qué número es 5/4?

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FRACCIÓN

Es muy importante que sepas representar una fracción de forma adecuada para que puedas resolver problemas de manera muy fácil después. Sólo debes seguir los siguientes pasos:

1. Elige un dibujo fácil de hacer (un punto, un segmento, un círculito, un muñequito, un cuadradito, etc.).
2. Pinta el dibujito tantas veces como indique el denominador de la fracción, pero juntos.
3. Pinta tantos dibujitos como indique el numerador.

Un ejercicio más difícil (a veces, imposible) es partir una figura en trozos iguales. Para ello, recuerda que debes conseguir que todos los pedazos sean iguales, aunque estén en posiciones diferentes. Si es necesario, deberás hacer aparecer líneas invisibles.

Tipos de fracciones

Vídeo sobre los tipos de fracciones.

• Propias. El numerador es menor que el denominador.
• Impropias. El numerador es mayor que el denominador.
• Enteras. El numerador es igual o un múltiplo del denominador.
• Decimales. El denominador es una potencia de 10.
• Mixtas. Es un número entero y una fracción propia.

Realiza los ejercicios del 1 al 15 de la página 123.

Relación entre fracciones y decimales

De fracción a decimal

Lo único que debes hacer es dividir el numerador entre el denominador. Pueden ocurrir dos casos:

1. Llega un momento en el que el resto de la división es cero. La división es exacta y tiene una cantidad de cifras decimales determinada. Decimos que el número decimal es exacto. Ejemplos: 4/5, 7/125 (divide para comprobarlo).
2. Las cifras del cociente se repiten indefinidamente. Decimos que el número decimal es periódico y el grupo de cifras que se repite es su periodo. La cantidad de cifras que tiene el periodo es la longitud del periodo. Ejemplos: 5/6, 3/7 (divide para comprobarlo).

De decimal a fracción

Distinguimos dos casos:

1. Decimal exacto. Se escribe el número decimal sin la coma en el numerador. En el denominador se escribe 10, 100, 1000, etc. según el número de decimales que tenga el número.
2. Decimal periódico. Puedes ver cómo se puede hacer en el siguiente vídeo.

En el siguiente vídeo repasamos las diferentes formas de representar fracciones y que nos servirán para resolver los problemas.

Comparación de fracciones

Como la fracción la podemos transformar en un número decimal, basta luego compararlos y tendremos la respuesta deseada.

Realiza los ejercicios del 1 al 4 de la página 124.

Fracciones equivalentes

Hemos visto que una fracción podemos transformarla en número decimal haciendo la división. Pero observa lo que ocurre con esta pareja de fracciones:
2/5 es 0,4.
4/10 es 0,4.
Y, sin embargo, las fracciones no son la misma. Basta que las dibujes y verás que los dibujos son diferentes. No es lo mismo dividir una mesa en 5 pedazos que en 10 pedazos, ¿verdad?

Llamamos fracciones equivalentes a aquellas fracciones que siendo distintas producen el mismo (equi-) número decimal (-valor).
Observa que para saber si dos fracciones son equivalentes es suficiente con hallar sus números decimales y comprobar si son o no son los mismos.
Vídeo que explica las fracciones equivalentes.

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Hay varios métodos y debes conocerlos y aplicarlos todos. Cada uno tiene sus ventajas e incovenientes.

• Obtener los números decimales. Hay que realizar la división.
• Multiplicación en cruz. Se enfrentan las dos fracciones y se multiplica el numerador de la primera con el denominador de la segunda, anotando el resultado obtenido. Ahora, multiplicamos el denominador de la primera con el numerador de la segunda fracción y anotamos el resultado. Finalmente, debemos comprobar los productos anotados: si son iguales, las fracciones son equivalentes.
  En este método no se divide, se multiplica, pero no sabemos el decimal.
• Dividir numeradores entre sí y denominadores entre sí, respetando el orden de las operaciones. Si se obtiene el mismo resultado entonces las fracciones son equivalentes.

APLICACIÓN MUY IMPORTANTE

Muchas veces sabremos que dos fracciones son equivalentes, pero por alguna razón algún número ha desaparecido y debemos recuperarlo. El método de multiplicación en cruz nos ayudará a rescatar ese número perdido (Debes saber que en Matemáticas llamamos incógnitas a aquellas cantidades desconocidas pero que tienen algún valor determinado). Estudia y aprende cómo se hace.

¿Cómo se pueden obtener fracciones equivalentes a una fracción dada?

Hay dos métodos:

• Amplificando. Se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número mayor que 1.
• Simplificando. Se dividen el numerador y el denominador por el mismo número mayor que 1.

Nota: En ambos métodos se procura que las fracciones obtenidas no tengan decimales ni en el numerador ni en el denominador. Para evitarlo, cuando se simplifica se dividen por divisores comunes del denominador y el numerador.
La fracción que no se puede simplificar más, se llama fracción irreducible.

Realiza los ejercicios del 1 al 12 de las páginas 126 y 127.

Algunos problemas con fracciones

Debes saber resolver dos tipos de problemas:

1. Directos. Ejemplo: Hallar 2/5 de 40 kg (Solución: 16 kg).
2. Inversos. Ejemplo: 3/7 de cierta cantidad son 9 euros. ¿Cuál es esa cantidad? (Solución: 21 euros).

Realiza los ejercicios1 y 2 de la página 128 y del 20 al 37 de la página 131.

Ejercicios y problemas

Realiza los ejercicios de la autoevaluación de la página 133.