Lo que debes aprender en este tema es:
- Hallar la tasa de variación media.
- Interpretar geométricamente la derivada de una función en un punto.
- Conocer y aprender la derivada de una función elemental.
- Hallar la función derivada de cualquier función obtenida mediante suma, resta, producto o división de elementales.
- Hallar la función derivada de cualquier función obtenida mediante composición de funciones elementales (regla de la cadena).
- Conocer la relación entre continuidad y derivabilidad de una función en un punto.
Tasa de Variación
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la tasa de variación media de la función en ese intervalo viene dada por el cociente incremental. Para su cálculo necesitamos la función y los valores de la función en los extremos del intervalo. Además, podemos hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos de la gráfica que son extremos del correspondiente intervalo. Debes observar que si los puntos son próximos y la gráfica se comporta bien (suave), la recta se acerca bastante a la curva de la función.
Realiza los ejercicios 1, 2 y 3 de la página 184.
Derivada de una función en un punto
La derivada de una función en un punto de una curva es el valor de la pendiente de la recta tangente en ese punto a la curva.
Su definición viene dada por el límite de las pendientes de las rectas secantes a la curva que pasan por el punto donde queremos conocer la tangente y el otro punto se va acercando al primero. En la siguiente imagen puedes observar la recta roja que se va pegando más a la curva de la parábola cuando el punto B superior se acerca el punto A, que permanece fijo todo el tiempo.
Se define la derivada de f(x) en x = a, al límite de la tasa de variación media; es decir,
Casi siempre, se va a obtener un indeterminación del tipo 0/0 que habrá que resolver. Recuerda que el límite existe si existen los laterales y coinciden en valor. Es por ello que definimos también las derivadas laterales de una función en un punto como los límites laterales correspondientes. Y, por tanto, será condición necesaria que ambas derivadas laterales existan y coincidan en su valor para que podamos afirmar que la función es derivable (tiene derivada) en el punto de abscisa x=a.
Realiza los ejercicios 1, 2, 3 y 4 de la página 187.
Relación entre derivabilidad y continuidad en un punto
Propiedad: Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto.
Observa que si una función presenta una discontinuidad en un punto, nunca va a tener derivada en ese punto. Pero una función puede ser continua y no tener derivada en el punto. El ejemplo clásico es la función valor absoluto en el origen. Lo veremos en clase.
Función derivada de una función elemental
La función derivada de f(x) se define como la que a cada valor de la variable independiente x le asocia o asigna el valor de la derivada de la función f en ese punto x. Se denota f'(x). Se escribe una coma como superíndice y se lee "prima".
Debes conocer y memorizar las funciones derivadas de las siguientes funciones:
- funciones polinómicas.
- Funciónes exponenciales.
- Funciones logarítmicas.
- funciones potenciales (una función elevada a cualquier número distinto de cero).
Es necesario que recuerdes que una raíz se puede escribir como potencia de exponente fraccionario. Y, que recuerdes, también, el significado de un exponente negativo.
Aprende la tabla de derivadas de funciones elementales.
Función derivada de cualquier función obtenida mediante suma, resta, producto o división de otras funciones elementales
Propiedad: Si dos funciones son derivables en un punto, entonces su suma, su resta, su producto y su cociente (si no se anulan el denominador) son derivables en ese punto.
Debes aprender y practicar las siguientes reglas de derivación:
Función derivada de cualquier función obtenida mediante composición de otras funciones elementales. Regla de la cadena.
Propiedad: Si f(x) es derivable en x=a, y g(x) es derivable en f(a), entonces (g(f))'(a)= g'(f(a))·f`(a).
Debes aprender la siguiente tabla de derivadas de funciones compuestas.
Realiza los ejercicios del 9 al 12 de la página 205 (excepto las correspondientes a funciones trigonométricas).