Lo que debes aprender en este tema es:
- Hallar la recta tangente a una curva
- Estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función. Hallar los máximos y mínimos relativos.
- Estudiar la concavidad y la convexidad de una función. Hallar los puntos de inflexión.
- Resolver problemas de optimizción.
IMPORTANTE: En este tema, siempre vamos a trabajar con funciones continuas y derivables las veces que sean necesarias y en el dominio que sea también necesario.
La recta tangente a una curva
La fórmula que usaremos para calcular la recta que es tangente a una curva en un punto suyo de abscisa x=a es
Realiza el ejercicio 1 de la página 175.
Crecimiento y decrecimiento de una función
El resultado que usaremos es el siguiente:
Realiza el ejercicio 2 de la página 176; y el ejercicio 12 de la página 188.
Aquellos puntos en los que la primera derivada se anula se llaman puntos críticos; en estos puntos la recta tangente será horizontal a la curva.
Si la función pasa de ser creciente a decreciente en un punto, la función posee un máximo local en ese punto.
Si la función pasa de ser decreciente a creciente en un punto, la función posee un mínimo local en ese punto.
Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 177; y el ejercicio 11 de la página 188.
Concavidad y convexidad de una función
El resultado que usaremos es el siguiente:
Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 179; y el ejercicio 13 de la página 188.
Aquellos puntos en los que la segunda derivada se anula estudiaremos si es un punto de inflexión:
Realiza el ejercicio 14 de la página 188.
Optimización
Los pasos a realizar son:
1. Plantear las ecuaciones y la función a optimizar.
2. La función a optimizar (máximizar o minimizar) debe depender de una incógnita.
3. Estudiar el dominio de la función a optimizar y de las incógnitas involucradas.
4. Hallar los puntos críticos y clasificarlos. Obtener los extremos relativos.
5. Estudiar los valores de la función a optimizar en los extremos del dominio válido. Obtener los extremos absolutos.
6. Responder a la pregunta que se haya planteado, indicando claramente los valores de las incóngitas y el valor de la función que estamos optimizando.
Realiza los ejercicios 1, 2, 3 y 4 de la página 181; y los ejercicios del 37 al 43 de las páginas 189 y 190.