Deberás:
- Reconocer figuras semejantes.
- Conocer y aplicar el teorema de Thales.
- Aplicar los criterios de semejanza de triámgulos
- Manejar las escalas.
- Aplicar la semejanza al cálculo de áreas y volúmenes de figuras.
Teorema de Thales
Conviene que recuerdes de cursos anteriores el teorema. Relaciona las medidas de segmentos entre paraelas.
Semejanza
Dos figuras son semejantes cuando tienes la misma forma y diferente o igual tamaño. Luego,
La relación que hay entre las medidas de lados correspondientes u homólogos se llama razón de semejanza.
- Los ángulos correspondientes son iguales.
- Las longitudes de los segmentos correspondientes son proporcionales.
IMPORTANTE
La razón de semejanza es el número por el que debes multiplicar las longitudes de una figura para obtener las longitudes de la otra figura semejante a ella.
La relación entre las áreas de dos figuras semejantes es el cuadrado de la razón de semejanza.
La relación entre los volúmenes de dos figuras semejantes es el cubo de la razón de semejanza.
Las dos figuras anteriores son semejantes. Observa que los ángulos son iguales dos a dos, y que los lados de una figura son proporcionles a los de la segunda. Observa que tienen distinto tamaño, pero tienen la misma forma.
Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 125.
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si los ángulos son iguales y los lados homólogos guardan la misma relación numérica. Es decir, que se verifica la igualdad de ángulos y la proporcionalidad de sus lados.
Criterios de semejanza de triángulos:
- Si dos triángulos tienen los ángulos iguales,entonces son semejantes; bastará que tengan dos, el tercero es lo que falta hasta 180 grados.
- Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales, son semejantes.
- Si dos triángulos tienen sus tres lados proporcionales, entonces son semejantes.
Realiza el ejercicio 1 de la página 127.
Áreas y volúmenes de figuras semejantes
Dos figuras semejantes de razón de semejanza r vefifican las siguientes relaciones:
- El perímetro de una figura es r veces el de la otra.
- El área de una figura es r2 veces el de la otra.
- El volumen de una figura es r3 veces el de la otra.
Observa el siguiente ejemplo y la relación entre sus perímetros y sus áreas.
Realiza los ejercicios 1 al 4 de las páginas 130 y 131..
Teoremas de la altura y del cateto
A partir de la siguiente figura puedes obtener, aplicando la semejanza de triángulos entre los tres que aparecen, los resultados siguientes:
- Teorema de la altura: h2 = m·n.
- Teorema del cateto: a2 = m·c ( De modo análogo, b2 = n·c)
Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 129.