Tema 6. Números complejos.
Debéis manejar con soltura:
- Las operaciones suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz cuadrada de números complejos en forma binómica.
- Representar en el plano complejo los números complejos y expresarlos en forma polar.
- Relacionar las propiedades geométricas traslación, giro, homotecia y simetría con las operaciones de los números complejos.
- Hallar las raíces n-simas de un número complejo en forma polar y su interpretación geométrica.
- Resolver ecuaciones de segundo grado con coeficientes complejos.
- Conocer aplicaciones reales de los números complejos.
Forma binómica de un número complejo
FORMA BINÓMICA: z = a + b i, siendo a la parte real y b la parte imaginaria del número complejo. Tanto a como b son números reales.
Llamamos unidad imaginaria a i.
Definimos las operaciones con números complejos:
SUMA: (3-2i) + (-7+8i) = -4+6i. Sumamos las partes reales e imaginarias entre sí.
RESTA: (3-2i) - (-7+8i) = 10+-10i. Restamos las partes reales e imaginarias entre sí.
PRODUCTO: (3-2i) · (-7+8i) =-21 +24i +14i-16i2 = -37 +38i. Se opera como si fueran monomios y se tiene en cuenta
CONJUGADO de un número complejo: El conjugado de 3-5i es 3+5i; se cambia el signo de la parte imaginaria.
INVERSO (z-1=1/z): Es el número complejo que al multiplicarlo por z se obtiene 1 como resultado. Para calcularlo:
1ª forma: (1+2i)·(a+bi)= 1. Operamos e igualamos las partes reales e imaginarias para hallar a y b resolviendo un sistema de ecuaciones sencillo.
2ª forma: Se escribe en notación 1/(1+2i) y multiplicamos el numerador y denominador por el conjugado (1-2i) separando la parte real e imaginaria.
DIVISIÓN (z1/z2): Dividir es multiplicar z1 por el inverso de z2. Lo más sencillo es multiplicar denominador y numerador por el conjugado del denominador y separar las partes reales e imaginarias para expresar el resultado en forma binómica.
RAÍZ CUADRADA. Aplicaremos la definición y resolveremos el sistema no lineal correspondiente.
Generación de un fractal
Busca en internet información del fractal de Mandelbrot y cómo se genera mediante operaciones con números complejos. En la applet puedes variar los datos y pintar el fractal pulsando el botón pintar.
Mandelbrot
Representación en el plano complejo
Los afijos en el palno complejo se dibujan teniendo en cuenta que la abscisa será la parte real del número complejo y la ordenada será la parte imaginaria. Los ejes se llaman, eje real y eje imaginario.
Debes darte cuenta que el conjugado de un número complejo es el punto simétrico respecto del eje real (eje de abscisas u horizontal); el opuesto de un número complejo es el punto simétrico respecto del origen de coordenadas. y el opuesto del conjugado es el punto simétrico respecto del eje imaginario (eje de ordenadas o vertical).
Representación polar de un número complejo
Debes saber escribir un número complejo tanto en forma binómica como en forma polar. Cuando se escribe en forma polar, los datos que hay que proporcionar son el módulo del número complejo (distancia del afijo al origen) y el argumento (ángulo medido desde el eje real hasta el afijo y con vértice el origen de coordenadas.
Como puede haber vueltas completas que proporcionen el mismo número complejo en binómica, habrá que tener en cuenta esas vueltas. El argumento de un número complejo es un conjunto infinito de valores de ángulo, todos ellos separados por un múliplo de 360 grados (o 2π si es en radianes). Llamaremos Argumento Principal del número complejo z al valor de su argumento en el intervalo 0 a 360 grados (de 0 a 2π, si es en radianes).
Las operaciones que se realizan de forma sencilla en forma polar son las multiplicaciones, divisiones potencias y raíces n-simas.
Ráiz n-sima. Fórmula de Moivre
Un número complejo tiene n raíces n-simas. Geométricamente, se situan en los vértices del polígono regular de centro el origen de coordenadas y de n lados. La fórmula de Moivre permite calcular cosenos y senos de ángulos múltiplos de uno dado en función de los cosenos y senos de ese ángulo.
Fórmula de Moivre
