Lo que debes aprender en este tema es:
- Calcular determinantes de orden 2 y orden 3.
- Menor de orden r y menor complementario de un elemento.
- Adjunto de un elemento y matriz adjunta.
- Calcular el determinante desarrollando por una línea.
- Cálculo del rango de una matriz mediante determinantes.
- Regla de Cramer.
- Discusión de sistemas. Teorema de Rouché-Fröbenus.
- Cálculo de la matriz inversa por la fórmula.
Determinantes
El determinante de una matriz es un número. Debes saber calcular cualquier determinante de orden 2 y de orden 3 (por la regla de Sarrus).
Realiza los ejercicios 1, 2 y 3 de la página 82 y los ejercicios 1 y 2 de la página 83.
Menores
Un menor de orden r es un determinante que se obtiene de la matriz eligiendo los elementos que pertenecen a las filas y las columnas que indique el menor.
El menor complementario de un elemento también es un determinante que se obtiene de una matriz cuadrada, pero en este caso hay que suprimir la fila y la columna en las que se halle el elemento.
Realiza el ejercicio 1 de la página 86.
Adjuntos y matriz Adjunta. Cálculo del determinante por adjuntos.
El adjunto de un elemento es el menor complementario de ese elemento afectado por el signo correspondiente según la posición del elemento en la matriz.
Nosotros usaremos el cálculo de adjuntos para hallar determinantes y aplicar fórmulas.
Realiza el ejercicio 2 de la página 86 y los ejercicios 1 y 2 de la página 87.
Rango de una matriz orlando determinantes
Si un menor de orden r es no nulo entonces el rango es r o mayor que r.
Para calcular el rango de una matriz orlaremos menores. Empezaremos eligiendo un menor de orden 1 distinto de cero y vamos añadiendo filas y columnas (orlar) adecuadas que hagan no nulo el menor nuevo obtenido. Si no conseguimos orlar con un menor no nulo, el rango de la matriz será el del mayor orden del menor no nulo.
Ver vídeo - cálculo del rango por menores
Ver vídeo - Discusión del rango de una matriz con un parámetro
Realiza el ejercicio 1 de la página 88.
Regla de Cramer
Sólo es aplicable a sistemas de ecuaciones lineales que tengan el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y, además, tengan determinante de la matriz de coeficientes no nulo.
Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 90.
Discusión de sistemas. Teorema de Rouché-Fröbenius
Es muy conveniente que hagas los ejercicios aplicando la técnica de Gauss y la técnica de determinantes para que tú mismo te des cuenta de la diferencia de hacerlo de un modo u otro. Considera el tiempo invertido en cada método y la dificultad en el desarrollo de cada uno de ellos.
Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 94.
Cálculo de la matriz inversa por la fórmula
Los pasos son:
- Hallar el determinante de A. Si es cero, la matriz A no tiene inversa (singular).
- Hallar la matriz traspuesta de A (mejor ahora para que no se te olvide trasponer).
- Hallar la matriz adjunta de la matriz anterior.
- Escribir la matriz inversa de A.
Realiza los ejercicio 1 y 2 de la página 95.