Deberás:
- Dibujar los números decimales en la recta numérica.
- Ordenar los números decimales.
- Sumar, restar, multiplicar y dividir manualmente con números decimales.
- Usar la calculadora para realizar operaciones con números decimales.
- Resolver problemas reales con números decimales.
- Representar fracciones mediante dibujos.
- Hallar el valor decimal de una fracción.
- Comparar fracciones.
- Obtener fracciones equivalentes.
- Hallar la fracción irreducible
- Resolver problemas reales con fracciones.
Los números decimales. Tipos y su representación
Observa los siguientes ejemplos. ¿Cómo interpretas el uso de la coma decimal?
Los números decimales se usan para expresar partes de una cosa. Así, si tienes un objeto y hay que dividirlo en mil partes iguales y quedarte con 753 de los trozos, lo escribiremos como número decimal 0,753.
La manera de representar los números decimales en la recta numérica se muestra a continuación.
Para leerlos, estudia y comprende la siguiente imagen y ve el vídeo pinchando en el enlace.
Realiza los ejercicios del 1 al 10 de la página 51.
Tipos de números decimales
Se clasifican en:
- Números decimales exactos:
- Tienen un número exacto de cifras decimales. Ejemplo: 1,25.
- Números decimales períodicos puros:
- Tienen un grupo de cifras que se repiten (periodo) justo detrás de la coma decimal. Ejemplo: 2,4444...
- Números decimales periódicos mixtos:
- Tienen un grupo de cifras que se repiten (periodo) y entre ellas y la coma decimal hay una o más cifras. Ejemplo: 2,45555...
- Números decimales aperiódicos:
- Tienen infinitas cifras decimales y no tienen periodo.
Aproximación de un número decimal
Estudiamos dos formas de aproximar:
- Aproximación por truncatura
- Se escriben el número de cifras que nos pidan sin tener en cuenta el valor de la siguiente que no escribimos. Por ejemplo, 4,567 se aproxima por tuncatura a dos cifras decimales por 4,56.
- Aproximación por redondeo
- Se escriben el número de cifras que nos pidan teniendo en cuenta que si la primera cifra que despreciamos es 5 o mayor, se aumenta en uno la última cifra escrita. Por ejemplo, 4,567 se aproxima por redondeo a dos cifras decimales por 4,57.
Cifras significativas de un número son las cifras que tienen un significado real. Por ejemplo, si te pesas en un instrumento que mide hasta los gramos, tu peso podrá expresarse como 59,456 kg con cinco cifras significativas. Si lo escribes en gramos sería 59.456 gramos. Observa que el instrumento mide en gramos y, realmente, la última cifra no sabemos si es correcta (pues, puede haber habido redondeo, por ejemplo). Luego, de las cinco cifras significativas, la última siempre es incierta y las otras ciertas (convenio de las cifras significativas ).
Realiza los ejercicios del 11 al 15 de la página 51.
Suma, resta y multiplicación de los números decimales
Realiza los ejercicios del 1 al 6 de la página 55.
División de números decimales
Realiza los ejercicios 7 y 8 de la página 55.
Raíz cuadrada y números decimales
Realiza los ejercicios del 1 al 4 de la página 56.
El significado de las fracciones
Partes de la unidad
- Partimos una tarta en 10 trozos y nos quedamos 1 pedazo: 1/10.
- Partimos una tarta en 10 trozos y nos quedamos 4 pedazos: 4/10.
- Partimos una tarta en 10 trozos y nos quedamos 10 pedazos: 10/10.
- Partimos una tarta en 10 trozos y nos quedamos 15 pedazos: 15/10.
- Partimos una tarta en 10 trozos y nos quedamos 40 pedazos: 40/10.
¿Cómo es posible que podamos quedarnos con 15 y 40 pedazos? Claramente, no podemos. Lo que queremos expresar es que queremos 15 y 40 pedazos de la tarta y, para ello, deberemos hacer más tartas iguales y partirlas todas en 10 trozos para que todos los pedazos sean iguales.
Operador
Una fracción de ... es una orden para nosotros. Significa que lo que vaya detrás de la preposición de hay que partirlo en trozos iguales a los que indique el denominador (número que se escribe debajo de la línea de fracción) y, a continuación, tomar el número de pedazos que indique el numerador (número que está escrito encima de la línea).
Ejemplo: Si compro 3/5 de 40 kg de carne, lo que estoy diciendo es:
40 kg : 5 = 8 kg de carne en cada trozo.
8 kg x 3 = 24 kg de carne es lo que estoy comprando.
División
Fíjate en el signo de división de tu calculadora. Seguramente, entre los dos puntitos de división hay una rayita horizontal. La calculadora te está indicando que una fracción también es una división.
Ejemplo: El número 3/5 es el número decimal 3:5 = 0,6. ¿Qué número es 5/4?
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FRACCIÓN
Es muy importante que sepas representar una fracción de forma adecuada para que puedas resolver problemas de manera muy fácil después. Sólo debes seguir los siguientes pasos:
- Elige un dibujo fácil de hacer (un punto, un segmento, un círculito, un muñequito, un cuadradito, etc.).
- Pinta el dibujito tantas veces como indique el denominador de la fracción, pero juntos.
- Pinta tantos dibujitos como indique el numerador.
Un ejercicio más difícil (a veces, imposible) es partir una figura en trozos iguales. Para ello, recuerda que debes conseguir que todos los pedazos sean iguales, aunque estén en posiciones diferentes. Si es necesario, deberás hacer aparecer líneas invisibles.
Tipos de fracciones
Vídeo sobre los tipos de fracciones.
- Propias. El numerador es menor que el denominador.
- Impropias. El numerador es mayor que el denominador.
- Enteras. El numerador es igual o un múltiplo del denominador.
- Decimales. El denominador es una potencia de 10.
- Mixtas. Es un número entero y una fracción propia.
Relación entre fracciones y decimales
De fracción a decimal
Lo único que debes hacer es dividir el numerador entre el denominador. Pueden ocurrir dos casos:
- Llega un momento en el que el resto de la división es cero. La división es exacta y tiene una cantidad de cifras decimales determinada. Decimos que el número decimal es exacto. Ejemplos: 4/5, 7/125 (divide para comprobarlo).
- Las cifras del cociente se repiten indefinidamente. Decimos que el número decimal es periódico y el grupo de cifras que se repite es su periodo. La cantidad de cifras que tiene el periodo es la longitud del periodo. Ejemplos: 5/6, 3/7 (divide para comprobarlo).
De decimal a fracción
Distinguimos dos casos:
- Decimal exacto. Se escribe el número decimal sin la coma en el numerador. En el denominador se escribe 10, 100, 1000, etc. según el número de decimales que tenga el número.
- Decimal periódico. Puedes ver cómo se puede hacer en el siguiente vídeo.
Comparación de fracciones
Como la fracción la podemos transformar en un número decimal, basta luego compararlos y tendremos la respuesta deseada.
Realiza los ejercicios del 1 al 4 de la página 60.
Fracciones equivalentes
Hemos visto que una fracción podemos transformarla en número decimal haciendo la división. Pero observa lo que ocurre con esta pareja de fracciones:
2/5 es 0,4.
4/10 es 0,4.
Y, sin embargo, las fracciones no son la misma. Basta que las dibujes y verás que los dibujos son diferentes. No es lo mismo dividir una mesa en 5 pedazos que en 10 pedazos, ¿verdad?
Llamamos fracciones equivalentes a aquellas fracciones que siendo distintas producen el mismo (equi-) número decimal (-valor).
Observa que para saber si dos fracciones son equivalentes es suficiente con hallar sus números decimales y comprobar si son o no son los mismos.
Vídeo que explica las fracciones equivalentes.
¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?
Hay varios métodos y debes conocerlos y aplicarlos todos. Cada uno tiene sus ventajas e incovenientes.
- Obtener los números decimales. Hay que realizar la división.
- Multiplicación en cruz. Se enfrentan las dos fracciones y se multiplica el numerador de la primera con el denominador de la segunda, anotando el resultado obtenido. Ahora, multiplicamos el denominador de la primera con el numerador de la segunda fracción y anotamos el resultado. Finalmente, debemos comprobar los productos anotados: si son iguales, las fracciones son equivalentes.
En este método no se divide, se multiplica, pero no sabemos el decimal. - Dividir numeradores entre sí y denominadores entre sí, respetando el orden de las operaciones. Si se obtiene el mismo resultado entonces las fracciones son equivalentes.
APLICACIÓN MUY IMPORTANTE
Muchas veces sabremos que dos fracciones son equivalentes, pero por alguna razón algún número ha desaparecido y debemos recuperarlo. El método de multiplicación en cruz nos ayudará a rescatar ese número perdido (Debes saber que en Matemáticas llamamos incógnitas a aquellas cantidades desconocidas pero que tienen algún valor determinado). Estudia y aprende cómo se hace.
¿Cómo se pueden obtener fracciones equivalentes a una fracción dada?
Hay dos métodos:
- Amplificando. Se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número mayor que 1.
- Simplificando. Se dividen el numerador y el denominador por el mismo número mayor que 1.
Nota: En ambos métodos se procura que las fracciones obtenidas no tengan decimales ni en el numerador ni en el denominador. Para evitarlo, cuando se simplifica se dividen por divisores comunes del denominador y el numerador.
La fracción que no se puede simplificar más, se llama fracción irreducible.
Realiza los ejercicios del 1 al 6 de la página 58.
Algunos problemas con fracciones
Debes saber resolver dos tipos de problemas:
- Directos. Ejemplo: Hallar 2/5 de 40 kg (Solución: 16 kg).
- Inversos. Ejemplo: 3/7 de cierta cantidad son 9 euros. ¿Cuál es esa cantidad? (Solución: 21 euros).
Realiza los ejercicios del 33 al 37 de la página 64.
Ejercicios y problemas
Realiza los ejercicios de la autoevaluación de la página 67.