Deberás:
- Hallar los múltiplos y divisores de un número.
- Conocer y aplicar los criterios de divisibilidad.
- Conocer los números primos y compuestos
- Saber factorizar en números primos un número.
- Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números.
- Resolver problemas reales aplicando la divisibilidad.
La relación de divisibilidad
Una manera más breve de escribir que 8 es un número que está en la tabla de multiplicar del número 2 es ésta: 8 es un múltiplo de 2.
Así, cuando oigas a alguien decir que 30 es un múltiplo de 5 lo que te está manifestando es que 30 es un número que está en la tabla de multiplicar del número 5.
Otra forma de expresar lo mismo es decir que 30 es divisible por 5.
Si alguien te dice que Ana es la madre de Joaquín, también podrás decir que Joaquín es el hijo de Ana. De la misma manera, puedes decir que 30 es múltiplo de 5 y que 5 es un divisor de 30.
Siempre que realizas una multiplicación obtienes un resultado. Los números que multiplicas se llaman factores. El resultado obtenido siempre es un múltiplo de cada uno de los factores. Y éstos, a su vez, serán divisores del producto obtenido.
Por ejemplo, de 4·5 = 20 puedes decir que:
- 4 es un divisor de 20.
- 5 es un divisor de 20.
- 20 es un múltiplo de 4.
- 20 es un múltiplo de 5.
- 20 es divisible por 4.
- 20 es divisible por 5.
Para saber si un número es múltiplo de otro tendrás que averiguar si está en su tabla de multiplicar; bien dividiendo y comprobando que es exacta, bien aprendiendo cositas de mates que eviten hacer la división (esto serán los criterios de divisibilidad).
Realiza los ejercicios del 1 al 13 de la página 45.
Los múltiplos y los divisores de un número
Para obtener los divisores de un número seguiremos el siguiente procedimiento:
- Dividimos entre el número 1 y comprobamos que es exacta. El cociente es otro divisor. (observa que el número 1 y el propio número siempre son divisores).
- Probamos dividir para 2. Si es exacta el cociente será otro divisor (Observa que obtienes los divisores por parejas) si no es exacta probamos con el siguiente, que es el 3.
- La comprobación del paso anterior la hacemos hasta que tengamos que dividir por un número que sea más grande que el último cociente obtenido.
Piensa en esto: ¿en qué casos al dividir obendrás de cociente el mismo número? ¿La cantidad de divisores de un número será par o impar?¿De qué va a depender?
Para saber si un número es múltilplo de otro sin dividir puedes aplicar los criterios de divisibilidad. Son reglas (recetas como las de cocina) muy fáciles de aplicar y cuyas operaciones son más sencillas de realizar que la división. Y, a veces, ni siquiera hay que hacer cuentas. Eso sí, estas reglas las tienes que aprender de memoria.
IMPORTANTE
Cuantas más cosas sepas, antes acabarás el trabajo que te manden y con menos esfuerzo.
Criterios de divisibilidad:
- Criterio del 2. El número acaba en cifra par (0, 2, 4, 6, 8)
- Criterio del 5. El número acaba en 0 ó en 5.
- Criterio del 3. La suma de todas las cifras es múltiplo de 3.
- Criterio del 9. La suma de todas las cifras es múltiplo de 9.
- Criterio del 11. Suma las cifras de lugar par, suma las cifras de lugar impar y resta ambos resultados. Debe ser un múltiplo de 11.
Aunque no obtengas mútiplos, puedes deducir cuál es el resto de las divisiones correspondientes si las realizaras. Esto se verá en clase, pero te animo a pensar en ello.
Realiza los ejercicios del 1 al 8 de la página 48.
Números primos y compuestos
Un número es primo si sólo tiene dos divisores, que serán el 1 y el propio número.
Un número que no es primo se dice que es compuesto y tendrá más de dos divisores.
Puedes comprobar que son primos los siguientes números: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Hay más. De hecho la lista no acaba nunca. Cuando encuentras uno que es muy grande, siempre hay otro mayor que él.
Para saber si un número es primo tendrás que dividir por toda la lista de primos más pequeños que él y comprobar que nunca salen exactas las divisiones. Es un ejercicio muy tedioso y aburrido, pero si descubres una manera sencilla y rápida de hacerlo, diferente a como lo hace el resto de la gente, te harás famoso y, tal vez, rico.
Realiza los ejercicios del 1 al 5 de la página 49.
Descomposición de un número en sus factores primos
Descomponer un número en factores es escribirlo como producto de números más pequeños y distintos de 1.
Por ejemplo, 12 = 3 · 4 es una descomposición en factores del número 12. ¿Sabrías escribir otra distinta?
Todos los números se pueden descomponer, excepto los que son primos. Por ejemplo, el número 17 es primo y no podrás descomponerlo.
Si observas el ejemplo anterior del número 12, los factores que aparecen son 3 y 4. 3 Es primo y no se descompone, pero 4 sí; de hecho 4 = 2 ·2 y 2 es un número primo. Así que podría escribir:
12 = 3·4 = 3·2·2. Y, ahora, todos los factores son primos. Aún podemos escribir mejor el resultado recordando lo que es una potencia. Así:
12 = 3·4 = 3·2·2 = 223. Descomposición de 12 en factores primos.
Debes saber que siempre es posible factorizar un número en factores primos y, además, no importa cómo lo hagas que siempre vas a obtener el mismo resultado. Es parecido a ir de tu casa al instituto; puede haber varios caminos diferentes, pero todos llegan al mismo sitio. Eso sí, unos son mejores que otros, ¿verdad? Pues, debes saber que hay varios métodos para obtener la descomposición (no vale copiar del compañero o compañera, que sería otro) y veremos dos:
- Método paso a paso. Es el del ejemplo.
- Método directo. Pruebas todos los primos (2, 3, 5, 7, ...) hasta que tienes todos.
Realiza los ejercicios del 1 al 6 de la página 50, y del 7 al 12 de la página 51.
Mínimo común múltiplo de dos números
El mínimo común múltiplo de dos números es el número más pequeño que está en las dos tablas de multiplicar sin tener en cuenta el 0.
Para hallarlo emplearemos dos métodos:
- Método de la definición. Escribes la lista de los múltiplos hasta que obtengas el primero que se repite en ambas listas.
- Método de la factorización en primos. Se factorizan en primos los números y se escriben todos los primos que tienen con el exponente más grande.
Realiza los ejercicios del 1 al 13 de la página 54.
Máximo común divisor de dos números
El máximo común divisor de dos números es el número más grande que divide a ambos números.
Veremos tres métodos distintos para hallarlo:
- Método de la definición. Se hallan todos los divisores de los números y se observa cuáles están repetidos y se elige el más grande de ellos.
- Método de la factorización en primos. Se factorizan ambos números y se escriben los primos repetidos y con el exponente más pequeño.
- Algoritmo de de Euclides.
Realiza los ejercicios del 1 al 13 de la página 57.
Ejercicios y problemas
Realiza los ejercicios del 1 al 12 de la página 61 (Autoevaluación).