Lo que debes aprender en este tema es:
- El teorema central del límite
- Hallar la distribución de medias muestrales de casos muy sencillos
Teorema Central del Límite (1ª Versión - MEDIA DE VARIABLES)
En el próximo vídeo se resuelve el siguiente ejercicio. Debes realizarlo en tu cuaderno a la vez que lo visionas. Páralo las veces que haga falta y cualquier duda que tengas anótala en tu cuaderno para resolverla en clase.
- Edad media de la población.
- Desviación típica de la población.
- Distribución de todas las medias muestrales posibles. (Tabla)
- Media de la distribución anterior.
- Desviación típica de la distribución anterior.
- Diagrama de barras de la distribución de las medias muestrales.
- Comprueba el Teorema Central del Límite.
Ver vídeo - Ejemplo 1
Ahora, vas a realizar el siguiente ejercicio para cuya resolución te puedes apoyar en la hoja de cálculo que os he preparado (descargar hoja de cálculo) y mirar el vídeo.
Partimos de una población de dos elementos cuyos valores son cero y
uno.
Ejercicio 1. Halla la media poblacional y la desviación típica
poblacional.
Ejercicio 2. Halla la distribución de medias muestrales para
tamaño muestral dos, tres y cuatro.
Ejercicio 3. Halla los promedios y las desviaciones típicas
muestrakes de todas las distribuciones anteriores.
Ejercicio 4. Representa los diagramas de barras asociadas a cada
distribución de frecuencias y comprueba el
Teorema Central del Límite.
Ver vídeo - ejemplo 2
- El Teorema Central del Límite asegura que cuanto mayor es el tamaño muestral (n) más se parece la distribución a una Normal. (En este ejemplo yo creo que se parece con n pequeño.)
- También que todas las medias de las distribuciones de medias muestrales coinciden con la media de la población.
- También que la D.T. de la distribución de medias muestrales de tamaño n coincide con la desviación típica de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño muestral n.
Teorema Central del Límite (2ª Versión - SUMA DE VARIABLES)
La versión del TCL que hemos visto hacía referencia a la media de n variables aleatorias. Ahora, vamos a trabajar con una nueva versión del teorema, pero aplicado a la suma de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.
En la página 292 del libro, el apartado (c) del ejercicio resuelto aplica esta versión del TCL. ¿Cómo?
La población tiene media 500 g y desviación típica 35 g (observa que tienen unidades). El enunciado no dice que sea normal, pero el tamaño de la muestra es 100.
- La media de la distribución de la suma de las muestras de tamaño 100 será 100·500=50000 g.
- La desviación típica de la suma de las muestras de tamaño 100 será 35·10 =350 g.
- El tamaño de la muestra es 100, y es un valor mayor o igual que 30; la distribución de la suma de las muestras de tamaño 100 será aproximadamente normal. (Esto significa en la práctica que usamos la tabla de la normal para calcular.)
Luego, p (S100 > 51000 g) se calcula con la tabla de la normal N(50000,350).
Ejercicio (tipo selectividad). «El gasto que realiza una persona en un supermercado es una cantidad aleatoria con media 50 euros y desviación típica 20 euros. Si un día han ido al supermercado 200 personas, ¿cuál es la probabilidad de que se hayan gastado entre todas más de 11000 euros?»
Solución. La población de media 50 euros y desviación típica 20 euros no dice que sea normal, pero el tamaño muestral 200 es mayor o igual que 30. Por lo tanto la distribución de la suma de las muestras de tamaño 200 es aproximadamente normal con media 200·50 = 10000 euros y desviación típica 20·14,1421=282,842 euros.
Como S200 ~ N(10000 , 282,842) podemos calcular p(S200 > 11000) = 0,0002. (Tipificar y tablas de la normal estándar)
Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 293; y los ejercicios del 5 al 12 de las páginas 304 y 305.