Deberás:
- Averiguar si dos figuras son semejantes.
- Manejar correctamente escalas en el plano
- Conocer y aplicar el teorema de Tales.
- Relacionar las longitudes, las áreas y los volúmenes de figuras semejantes.
- Aplicar los criterios de semejanza en triángulos.
- Resolver problemas reales mediante semejanza.
Semejanza
Si copias una figura multiplicando todas las medidas de la figura real por un mismo número, vas a obtener
una figura que tiene:
- La misma forma que la original.
- Los ángulos entre líneas de la figura original coinciden con los de la copia.
- Sólo habrá cambiado el tamaño.
Diremos que dos figuras son semejantes si sólo difieren en su tamaño. Las longitudes entre dos puntos de una de ellas se obtiene multiplicando por un mismo número las de la otra. Este número se llama razón de semejanza.
Si miras con detenimiento ambas figuras te darás cuenta de:
- Los ángulos en ambas figuras coinciden (las letras que aparecen son griegas).
- Las longitudes de la figura grande se obtienen multiplicando las de la fidura pequeña por el mismo valor.
- Las figuras tienen la misma forma. Cambia el tamaño y la posición.
Realiza los ejercicios 1 al 5 de las páginas 195, 196 y 197.
Escalas
En la figura anterior está representada una cocina a tamaño más pequeño del real. La ESCALA nos informa de cómo se ha cambiado el tamaño. De hecho nos dice que las medidas de longitud del dibujo son 1/50 de las medidas reales.
La escala es el cociente, división, fracción o razón de semejanza que se obtiene dividiendo las medidas del dibujo entre las medidas reales.
Realiza los ejercicios 1, 2 y 3 de la página 199.
Relación entre las medidas de figuras semejantes
Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza r, tienes que saber las siguientes relaciones MUY IMPORTANTES:
- El cociente (razón, división) entre las longitude de ambas figuras es la razón de semejanza r.
- El cociente (razón, división) entre las áreas de ambas figuras es el cuadrado de la razón de semejanza r2.
- El cociente (razón, división) entre los volúmenes de ambas figuras es el cubo de la razón de semejanza r3.
En la figura, comprueba la relación entre perímetros y áreas con tu calculadora.
Teorema de Thales
Relaciona las medidas de segmentos de rectas que cortan y están entre dos rectas paralelas.
En dibujo es muy utilizado para dividir con la regla y el compás un segmento en varias partes iguales.
Realiza los ejercicios 1, 2, 3 y 4 de las páginas 202 y 203.
Criterios de semejanza para triángulos
Los criterios de semejanza de triángulos son unas reglas de fácil aplicación o comprobación para averiguar si los triángulos que estamos comparando son semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos:
- Si dos triángulos tienen los ángulos iguales,entonces son semejantes; bastará que tengan dos, el tercero es lo que falta hasta 180 grados.
- Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales, son semejantes.
- Si dos triángulos tienen sus tres lados proporcionales, entonces son semejantes.
Observa que de uno de los triángulos conocemos los tres ángulos y los tres lados, pero del otro triángulo conocemos algunos elementos. Los criterios de semejanza nos permiten asegurar que tienen la misma forma y podríamos calcular todas las medidas que nos faltan, conociendo la razón de semejanza.
Realiza los ejercicios 1 al 6 de las páginas 204 y 205.
Aplicaciones
- Pantógrafo.
- Escalímetros.
- Fotografía.
- Cálculo de medidas de objetos inaccesibles.
Realiza los ejercicios 1, 2 y 3 de las páginas 206 y 207.