Lo que debes aprender en este tema es:
- Concepto de función y su importancia en el estudio de fenómenos reales.
- Formas de representar una función.
- Propiedades importantes de una función.
- Operaciones con funciones.
- Conocer y trabajar con las funciones exponenciales.
- Conocer y trabajar con las funciones logarítmicas.
- Conocer y trabajar con las funciones trigonométricas.
Concepto de función
En numerosas ocasiones observamos propiedades que parecen estar relacionadas entre ellas. Y nos preguntamos qué valores pueden tomar esas propiedades y cómo es esa relación, si la hay, entre ellas. El concepto de función sería esa relación.
En las siguientes imágenes se representa una modelizazcíon de la evolución diaria de una infección a partir de un sólo individuo infectado de entre una población de cien mil personas según el modelo cerrado SIR
Nosotros sólo vamos a trabajar con dos magnitudes (propiedades que se pueden medir). Estudiaremos cuál de las dos puede tomar valores libremente y cuál es la que se ve obligada a cambiar de valor por haberlo hecho su compañera.
En cierta manera, es parecido a un gran perro mal adiestrado con su dueño durante el paseo. El perro va por donde quiere tirando de la correa, y el pobre dueño del perro se ve obligado a seguirlo en su camino (si quieres cambiar el perro por un caballo, también sirve).
A las magnitudes que estudiamos las llamaremos variables. La que puede tomar valores con total libertad (el perro del ejemplo) se la llama variable independiente. La otra variable que toma valores determinados por los valores de la otra variable se llama variable dependiente (en el ejemplo anterior, el dueño). La relación entre los valores de ambas valores es lo que llamaremos función, y exigimos que la variable dependiente sólo pueda tener un valor para cada uno de los valores de la variable independiente. Admitiremos que la función (relación) puede escrbirse mediante una ecuación en la que la variable independiente se denotará por la letra x, y la variable dependiente por la letra y, siendo esta última la que se escribirá en el primer miembro de la ecuación, aislada. En el segundo miembro de la ecuación aparecerá una expresión algebraica cualquiera en la que sólo aparecerá la letra x. También escribiremos y=f(x) para expresar la función o relación entre ellas.
Ver vídeo - Ejemplo de aplicación de las funciones a una animaciónRepresentaciones de una función
Las funciones las vamos a expresar de tres maneras diferentes:
- Como fórmula que relaciona la variable independiente y dependiente.
f(x)=x+1, siendo x la variable independiente. - Como una tabla de valores.
x f(x) -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 - Como una gráfica dibujada en unos ejes de coordenadas cartesianas.
Propiedades importantes de una función
Las propiedades que debes estudiar son:
-
Dominio y recorrido.
Ver vídeo - Dominio de una función (ejemplo 1).
Ver vídeo - Dominio de una función (ejemplo 2).
Ver vídeo - Dominio de una función (ejemplo 3).
Ver vídeo - Dominio de una función (ejemplo 4). - Puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas.
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Existencia de máximos y mínimos.
- Intervalos de concavidad y convexidad. Existencia de puntos de inflexión.
- Existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
Ver vídeo - concepto de recta asíntota a una curva.
- Continuidad
En el siguiente vídeo podéis observar como se realiza gráficamente el estudio de una función, analizando algunas de sus propiedades más importantes.
Ver vídeo - función a trozos
Applet Geogebra - Funciones a trozos
Operaciones con funciones
Las operaciones que debes saber hacer son:
- Suma. Ver vídeo - suma de funciones.
- Resta. Ver vídeo - resta de funciones.
- Multiplicación. Ver vídeo - producto de funciones.
- División. Ver vídeo - cociente de funciones.
También tienes que conocer y calcular:
- La composición de funciones. Ver vídeo - composición de funciones.
- La función inversa. Ver vídeo - inversa de funciones.
Transformaciones básicas de funciones
Las transformaciones que debes saber hacer son:
- Traslaciones.
Transformación (k > 0) Efecto y = f(x) + k La gráfica se traslada k unidades hacia arriba. y = f(x) - k La gráfica se traslada k unidades hacia abajo. y = f(x + k) La gráfica se traslada k unidades hacia la izquierda. y = f(x - k) La gráfica se traslada k unidades hacia la derecha. - Simetrías.
Transformación Efecto y = -f(x) La gráfica es simétrica respecto del eje de abscisas. y = f(-x) La gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas. - Estiramientos y contracciones.
Transformación Efecto y = k·f(x) (k>0) La gráfica se estira en vertical multiplicando por k las ordenadas. y = (1/k)·f(x) (k>0) La gráfica se contrae en vertical dividiento por k las ordenadas.
Función a trozos
En el siguiente vídeo podéis observar como se realiza gráficamente el estudio de una función, analizando algunas de sus propiedades más importantes.
Ver vídeo - función a trozos
Applet Geogebra - Funciones a trozos
Función valor absoluto
Ver vídeo - función valor absoluto de otra función
Applet Geogebra - función valor absoluto de otra función
Funciones trigonométricas
En cualquier programa o software informático debes representar las funciones:
- Seno y arco seno.
- Coseno y arco coseno.
- Tangente y arco tangente.
- Secante y arco secante.
- Cosecante y arco cosecante.
- Cotangente y arco cotangente.
