Tema 10. Álgebra

Deberás:

  • Expresar algebraicamente enunciados escritos u orales.
  • Conocer y manejar las operaciones con monomios.
  • Hallar el valor numérico de una expresión algebraica.
  • Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
  • Resolver problemas planteando una ecuación.
    • Letras en vez de números

    En varias ocasiones te han aparecido ejercicios en los que tenías que hallar el valor que poner dentro de un recuadro. Mira los ejemplos:
    - En una lista de números. 1 - 2 - 3 - □ - 5 - 6.
    - En una multiplicación, de la que sabes el resultado. 4 · □ = 24.
    Y, seguramente, se te pueden ocurrir más ocasiones en las que ha aparecido el cuadradito, o un ciculito, etc. en el que tenías que poner el número correspondiente.

    ¿Por qué un cuadradito?¿Podemos poner otro símbolo? Claro que sí, pero lo que haremos a partir de ahora es poner algo que seguro sabes dibujar: letras.
    Así, escribiremos:
    - En una lista de números. 1 - 2 - 3 - X - 5 - 6.
    - En una multiplicación, de la que sabes el resultado. 4 · X = 24.

    Hay una letra griega de la que ya has hecho uso de lo que te estoy diciendo. ¿Recuerdas que es π? Es una letra del alfabeto griego, pero en matemáticas tiene un valor numérico, ¿recuerdas cuál es? Ya ves que has usado letras para sustituir números que son muy largos de escribir.

    Llamamos expresión algebraica a cualquier cosa que escribas usando números, signos de operación y letras.

    Vídeo de "Troncho y Poncho" sobre expresiones algebraicas.

    Cuando te piden cuál es la fórmula para el cálculo del área de un rectángulo, si recuerdas era el producto de la medida de la base por la medida de la altura. Y seguro que verías la expresión A = b · h
    Por supuesto, estás usando letras para sustituir los números.

    Realiza los ejercicios del 1 al 6 de la página 171.

    Expresiones algebraicas

    Ya hemos visto qué es una expresión algebraica. Nosotros trabajaremos con las más sencillas: los monomios. Con ellos, crearemos otras expresiones más complicadas, los polinomios.

    MONOMIOS

    Expresión algebraica: -3,5 a 3b 5c 2. Está formado por un número - llamado coeficiente- y de unas letras - indeterminadas- con unos exponentes que son números naturales - cuya suma se llama grado. La parte de las letras con sus exponentes se llama parte literal.
    En el ejemplo anterior tenemos:
    - Coeficiente: -3,5.
    - Parte literal: a 3b 5c 2.
    - Indeterminadas: a, b y c.
    - Grado: 10 (la suma 3+5+2).

    Dos Monomios decimos que son semejantes si tienen la misma parte literal.

    Cositas especiales
    • Si el exponente es 1, no escribiremos el 1.
    • Si el exponente es 0, no escribiremos ni el 0 ni su indeterminada.
    • Los números son monomios de grado 1.
    • Si el coeficiente es 1, no escribiremos el 1 si el monomio no es de grado cero.
    • Si el coeficiente es -1, escribiremos el signo menos, pero no el 1 si el monomio no es de grado cero.
    • El número 0 no tiene grado cero (esto queda para otro curso posterior).

    Operaciones con monomios

    Se aplican las reglas siguientes (debes aprenderlas):

    • SUMA. Deben ser momonios semejantes. Se suman los coeficientes y se escribe la misma parte literal.
    • RESTA. Deben ser momonios semejantes. Se restan los coeficientes y se escribe la misma parte literal.
    • PRODUCTO. Se multiplicann los coeficientes y se suman los exponentes de las indeterminadas de cada monomio.
    • COCIENTE. Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las indeterminadas de cada monomio.
    Vídeo que define un monomio.
    Vídeo que explica como operar con los monomios.

    POLINOMIOS

    - Un polinomio es una suma de monomios de diferentes grados. Los escribiremos de grado mayor a grado menor. Llamamos grado del polinomio al mayor de los grados de los momonios que lo forman. El valor numérico es la cantidad que se obtiene al sustituir o cambiar las letras por el valor que nos digan y hacer todas las cuentas.
    Por ejemplo: p(x) = -3 x 2+4 x -1 es un polinomio de segundo grado o de grado dos. Observa que lo hemos llamado p(x) (se lee pe de equis), escribiendo la indeterminada dentro de un paréntesis. En lugar de p podríamos haber usado cualquier letra o palabra.

    Vídeo que explica el cálculo del valor numérico.

    Realiza los ejercicios del 1 al 24 de las páginas 173 y 175.

    Ecuaciones

    Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que las letras, llamadas incógnitas, tienen unos valores que al ser puestos en lugar de las letras hacen que se cumpla la igualdad.
    Nuestro objetivo va a ser averiguar el valor de las incógnitas o letras.
    Durante este curso sólo resolveremos ecuaciones que se crean con monomios de grado cero y uno, y con una única letra, que será la X.
    Ejemplo de ecuación: 7X + 5 = 3X -8

    Realiza los ejercicios del 1 al 4 de la página 177.

    Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

    Debes saber hacer las siguientes técnicas:

    1. Despejar la incógnita. 2X = 6 → X = 6 / 2 → X = 3.
    2. Transponer términos. 2X -5 -3X +9 = 4X -1 +2 -7X → 2X -3X -4X +7X = -1 +2 +5 -9
    3. Reducir o simplificar términos. 3X -2X +5X = 3 -1 +6 → 6X = 8.
    4. Quitar paréntesis. 2 (3x - 5 ) - 3 (3 +5X) = - (2x -1) + 4x -1 → 6X -10 -9 -15X = -2X +1 +4X -1.
    5. Quitar denominadores. Multiplicar la ecuación por el mínimo comúm múltiplo de los denominadores.

    Vídeo que explica las técnicas para resolver una ecuación de primer grado.

    Realiza los ejercicios del 1 al 30 de las páginas 181, 182 y 183.

    Resolución de problemas mediante ecuaciones

    Los pasos a seguir son:

    1. Leer el enunciado del problema y comprenderlo. Si fuera necesario buscar el significado de alguna palabra en el diccionario, hay que hacerlo.
    2. ¿Has resuelto o hecho o visto hacer algún problema parecido? Si la respuesta es sí deberías repasar esos ejercicios ya realizados. Tal vez se haga de la misma manera o parecida.
    3. ¿Qué te preguntan? Invéntate una respuesta al problema e intenta comprobarla siguiendo las instrucciones del enunciado. Esto te ayudará bastante a plantear la ecuación de modo correcto.
    4. Pon incógnitas a lo que te piden, indicando muy claramente que es cada letra.
    5. Escribe la ecuación. Una ecuación es una condición que existe entre los datos que te proporcionan en el enunciado. Debes encontrar esa condición y expresarla algebraicamente con un signo igual.
    6. Resolver la ecuación.
    7. Comprobar la solución obtenida. Recuerda que se comprueba el enunciado.
    8. Responder a lo que se pregunta. No debes dejarte este apartado. Hacer las cuentas y no contestar, pues, no queda nada bien.

    Realiza los ejercicios del 1 al 6 de la página 185.

    Ejercicios y problemas

    Realiza los ejercicios de la autoevaluación de la página 191.

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